Persamaantrigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat.
Tambahkansatu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari x atau separuhnya 6 yang dikuadratkan, yakni 32=9. Tambahkan angka 9 di ruas kiri dan kanan, sehingga persamaannya menjadi: x2 + 6x + 9 = -5 + 9. x2 + 6x + 9 = 4. (x+3)2 = 4.
Persamaantrigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui nilainya. Pada prinsipnya, persamaan trigonometri sama dengan persamaan linear atau kuadrat. Hal yang membedakan adalah himpunan penyelesaian pada persamaan trigonometri berupa besaran sudut. Jenis Persamaan Trigonometri
Bentukgrafik persamaan kuadrat tersebut berdasarkan pada nilai koefisien dan konstanta persamaan kuadratnya. Setelah itu selesaikan persamaan trigonometri menggunakan ketiga aturan di atas. Sin b cos b = db/a β db = a. Nah, persamaannya disebut persamaan kuadrat. A adalah koefisien x 2. 3x 30 o n360 o.
Solusiuntuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat didapatkan saat hasil substitusi sama dengan 0 (nol) dan biasa disebut akar-akar persamaan kuadrat. Biasanya ada 2 akar-akar persamaan kuadrat yang didapatkan. Terdapat tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu: 1. Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
TutorialCara Mudah Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat #2 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (3x - 45o) = 1/2, untuk 0 β€ x β€ 360o Jawaban: cos (3x - 45o) = 1/2 cos (3x - 45o) = cos 60o (i) 3x - 45o = 60o + k.360o 3x = (60o + 45o) + k.360o 3x = 105o + k.360o x = 35o + k.120o Untuk k = 0, maka x = 35o
Dalamhal menyelesaikan persamaan trigonometri didalam bntuk kalimat terbuka ini, berarti sama dengan menentukan nilai variabel yang terdapat didalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar. Begitu juga jika dihadapkan dengan kasus sebaliknya. Persamaan Trigonometri Yang Berbentuk Persamaan Kuadrat Dalam Sin, Cos Atau Tan :
Menyelesaikanpersamaan a sin x + b cos x = c; Menyelesaikan persamaan Trigonometri yang berbentuk Persamaan Kuadrat; Menyelesaikan persamaan Trigonometri dengan tabel dan kalkulator; B. Contoh Soal dan Pembahasan. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin x =1/2 pada interval 0 0 β€ x β€ 360 0. Pembahasan sin x =1/2 sin x
Matematikastudycentercom-Contoh soal dan pembahasan menyelesaikan persamaan trigonometri, menentukan himpunan penyelesaian materi matematika dengan batas permintaan 0Β° β€ x β€ 360Β°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {30Β°, 150Β°} Soal No. 2 Untuk 0Β° β€ x β€ 360Β° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1
Dalampersamaan kuadrat, ada 2 nilai untuk x. Selesaikan setiap persamaan secara terpisah dengan memindahkan variabel dan menuliskan 2 jawaban untuk x, seperti ini: Selesaikan 3x + 1 = 0 3x = -1 .. dengan mengurangi 3x/3 = -1/3 .. dengan membagi x = -1/3 .. dengan menyederhanakan Selesaikan x - 4 = 0 x = 4 .. dengan mengurangi
Persamaantrigonometri untuk beberapa kasus dapat dirubah menjadi persamaan kuadrat yang memuat sinus, kosinus, atau tangen. Penyelesaiannya didapat dengan metode faktorisasi. Persamaan Trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan :
PerubahanEnergi Listrik Menjadi Bentuk Energi Lain Disebut 26 June 2022
PersamaanTrigonometri #MatematikaPeminatanPada video kali ini dijelaskan cara menyelesaikan persamaan trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat.Materi M
Persamaantrigonometri sederhana terdiri dari persamaan untuk sinus, cosinus, dan tangen. Pembahasan materi persamaan trigonometri sederhana dibatasi pada penyelesaian yang berada pada rentang 0 o sampai dengan 360 o atau 0 sampai dengan 2Ο. Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana seperti berikut:
hBCuft. Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri tanpa menggunakan rumus. yang saya maksud, adalah rumus persamaan trigonometri berikut ini Persamaan Penyelesaian $\sin{x} =\sin{a^\circ}$ $\cos{x}=\cos{a^\circ}$ $\tan{x}=\tan{a^\circ}$ $x=a^\circ+k\times360^\circ$ atau $x=180-a^\circ+k\times360^\circ$ $x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$ $x=a^\circ +k\times 180^\circ$ Rumus-rumus yang lumayan susah untuk diingat π, tapi cara yang saya bagikan ini sebenarnya tidak saya sarankan, anggap saja hanya berbagi pengalaman bagaimana cara saya menutupi kekurangan yang jujur saja lemah dalam hapalan, toh matematika bukan ilmu hapalan kan? hehe π Namun tetap, ada beberapa syarat yang mesti terpenuhi untuk bisa menggunakan cara ini, Pertama, kalian harus tau nilai trigonometri sudut istimewa pada kuadran I, sebagai berikut $\alpha$ $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$ $\sin{\alpha}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ $1$ $\cos{\alpha}$ $1$ $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $\tan{\alpha}$ $0$ $\frac{1}{3} \sqrt{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ Kedua, kalian harus tau nilai trigonometri bernilai positif atau negatif berada di kuadran mana saja. untuk mempermudah mengingatnya, kita ingat yang bernilai positifnya saja yang biasa saya hapal menggunakan "jembatan keledai" dalam kalimat "semanis sinta tanpa cosmetik", sebagai berikut Kuadran I Semua bernilai positif $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sec$, $\csc$ dan $\cot$ Kuadaran II $\sin$ dan "kebalikannya" yaitu $\csc$ bernilai positif, yang lainnya negatif Kuadran III $\tan$ dan "kebalikannya" yaitu $\cot$ bernilai positif, yang lainnya negatif Kuadran IV $\cos$ dan "kebalikannya" yaitu $\sec$ bernilai positif, yang lainnya negatif perhatikan diagram berikut Nah, itulah dua syarat yang harus terpenuhi. Baiklah sekarang kita coba bahas soal persamaan trigonometri, kita mulai dari yang paling sederhana CONTOH 1 Tentukan penyelesaian dari persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$. Jawab Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III atau IV. Sekarang perhatikan persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$, bisa kita lihat nilai $\sin$ positif, artinya nilai $x$ yang memenuhi pastilah berada di kuadran I atau II karena $\sin$ positif di kuadran I dan II maka nilai $x$ yang memenuhi pastilah $x=30^\circ$ atau $x=150^\circ$ CONTOH 2 Tentukan penyelesaian dari persamaan $\cos{x}+1=0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$. Jawab $\cos{x}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=0\Rightarrow\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III atau IV. Perhatikan persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada di kuadran III dan IV. Maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ atau $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$ CONTOH 3 Sumber soal Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara Penyelesaian persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$ adalah .... A. $x=30^\circ, 150^\circ$ B. $x=120^\circ, 210^\circ$ C. $x=150^\circ, 210^\circ$ D. $x=150^\circ, 300^\circ$ E. $x=150^\circ, 330^\circ$ Jawab Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada di kuadaran II dan III, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^\circ-30^\circ=150^\circ$ dan $x=180^\circ+30^\circ=210^\circ$.Jawaban C CONTOH 4 Sumber soal Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara Diketahui $x_1$ dan $x_2$ merupakan penyelesaian persamaan $\sqrt{2}+2\cos{x}=0$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$. nilai $x_1+x_2=$ .... A. $210^\circ$ B. $270^\circ$ C. $300^\circ$ D. $330^\circ$ E. $360^\circ$ Jawab $\begin{align*}\sqrt{2}+2\cos{x}&=0\\2\cos{x}&=-\sqrt{2}\\ \cos{x}&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{align*}$ Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada pada kuadran II dan III, maka $x_1=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ $x_2=180^\circ+45^\circ=225^\circ$, sehingga $x_1+x_2=135^\circ+225^\circ=360^\circ$Jawaban E CONTOH 5 Sumber soal Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara Penyelesaian persamaan $\tan{x+15^\circ}=-1$ untuk $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah .... A. $x=135^\circ$ B. $x=225^\circ$ C. $x=300^\circ$ D. $x=315^\circ$ E. $x=330^\circ$ Jawab Batasan $x$, $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ bisa kita ubah menjadi $180^\circ+15^\circ \leq x+15^\circ \leq 360^\circ+15^\circ$ $\Rightarrow 195^\circ\leq x+15^\circ\leq 375^\circ$ Jika kita misalkan $x+15^\circ=p$, maka $\tan{p}=-1$ dengan $195^\circ\leq p \leq 375^\circ$ $\tan$ bernilai negatif, artinya $p$ yang memenuhi berada di kuadran IV, dengan demikian, nilai $p=360^\circ-45^\circ=315^\circ$ $\begin{align*}x+15^\circ&=p\\x+15^\circ&=315^\circ\\x&=315^\circ-15^\circ\\x&=300^\circ\end{align*}$Jawaban C CONTOH 6 Sumber soal Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara Himpunan penyelesaian persamaan $2\cos{2x-60^\circ}=1$ untuk $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ adalah .... A. $\{ 0^\circ, 45^\circ, 135^\circ \}$ B. $\{0^\circ, 60^\circ, 135^\circ\}$ C. $\{0^\circ, 60^\circ, 180^\circ\}$ D. $\{30^\circ, 45^\circ, 180^\circ\}$ E. $\{30^\circ, 135^\circ, 180^\circ\}$ Jawab $\begin{align*}2\cos {2x-60^\circ}&=1\\ \cos{2x-60^\circ}&=\frac{1}{2}\end{align*}$ Batasan $x$ $0^\circ \leq x \leq 180^\circ \Leftrightarrow -60^\circ \leq 2x-60^\circ \leq 360^\circ$ Misal $2x-60^\circ = p$, maka $\cos{p}=\frac{1}{2}$ untuk $-60^\circ \leq p \leq 300^\circ$ karena nilai $\cos$ positif, maka $p$ yang memenuhi berada di kuadran I, dan IV. Perhatikan juga "batasan" $p$, $-60^\circ$ berada di kuadran IV, memenuhi. jadi $p=-60^\circ, 60^\circ, 300^\circ$ $2x-60^\circ=p\Leftrightarrow x=\frac{p+60^\circ}{2}$ untuk $p=-60^\circ\Rightarrow x=\frac{-60^\circ+60^\circ}{2}=0^\circ$ untuk $p=60^\circ\Rightarrow x=\frac{60^\circ+60^\circ}{2}=60^\circ$ untuk $p=300^\circ\Rightarrow x=\frac{300^\circ+60^\circ}{2}=180^\circ$Jawaban C
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang memiliki derajat orde dua. Persamaan kuadrat yang biasanya kita temukan dalam bentuk ax$^2$ + bx + c = 0, bisa kita temukan dalam bentuk logaritma, bahkan dalam bentuk perbandingan trigonometri yaitu sinus sin, cosinus cos dan tangen tan. Nah, kali ini kita akan membahas persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Sama dengan persamaan kuadrat pada umumnya, persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri bisa diselesaikan dengan tiga cara yaitu memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat atau yang lebih dikenal dengan rumus abc. Bentuk umum persamaan kuadrat dalam bentuk sinus, kosinus, dan tangen dapat berbentuk sebagai berikut. asin$^2$x$^o$ + bsin$^o$ + c = 0 acos$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0 atan$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0 Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan kuadrat di atas, langkah pertama adalah dengan membuat pemisalan untuk perbandingan trigonometrinya. Kita misalkan saja dengan p, maka bentuk umum persmaan kuadrat di atas akan menjadi ap$^2$ + bp + c = 0 baik untuk sinus, cosinus maupun tangen. Kemudian kita tentukan nilai p yang memenuhi. Setelah didapat nilai p, kita kembalikan p menjadi perbendingan trigonometri dan kita akan memperoleh persamaan trigonometri sederhana. Terakhir kita selesaikan persmaan tersebut dengan cara yang dapat di baca pada artikel ini. Namun, sebelum menentukan penyelesaian dari persmaan kuadrat di atas, ada syarat yang harus dipenuhi agar persamaan kuadrat di atas mempunyai penyelesaian. Untuk persamaan kuadrat dalam sinus dan cosinus, ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu Syarat perlu, D β₯ 0 Syarat cukup, -1 β€ p β€ 1 Sedangkan, untuk persamaan kuadrat dalam tangen, hanya memerlukan satu syarat yang harus dipenuhi yaitu Syarat perlu, D β₯ 0 Dengan D adalah diskriminan yang nilainya dapat ditentukan dengan D = b$^2$ - 4ac Sebagai contoh, apakah sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 mempunyai penyelesaian? Penyelesaian Misalkan sinx$^o$ = p, maka persamaanya dapat dtulis menjadi p$^2$ + 7p + 12 = 0 D = b$^2$ - 4ac D = 7$^2$ - 4112 D = 49 - 48 D = 1 D > 0, syarat perlu terpenuhi p$^2$ + 7p + 12 = 0 p + 4p + 3 = 0 p + 4 = 0 atau p + 3 = 0 p = -4 p = -3 Nilai p < -1 Syarat cukup tidak terpenuhi Maka, dapat disimpulkan jika persamaan sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 tidak mempunyai penyelesaian. Jika telah memahami syarat tersebut, sekarang kita lanjutkan dengan contoh soal persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri yang dapat diselesaikan. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos$^2$x$^o$ - cos$^o$ - 2 = 0 dalam interval 0 β€ x β€ 360! Penyelesaian Misalkan cosx$^o$ = p maka persamaanya dapat ditulis menjadi p$^2$ - p - 2 = 0 p + 1p - 2 = 0 p = -1 atau p = 2 Jika p = -1, maka cosx$^o$ = -1 cosx$^o$ = cos 180$^o$ Untuk, x = 180$^o$ + k Γ 360$^o$ k = 0 β x = 180$^o$ + 0 Γ 360$^o$ = 180$^o$ Untuk, x = -180$^o$ + k Γ 360$^o$ k = 1 β x = -180$^o$ + 1 Γ 360$^o$ = 180$^o$ Jika p = -2, maka tidak memenuhi karena p < -1 syarat cukup tidak terpenuhi Jadi, penyelesaiannya adalah {180$^o$} Selain, bentuk-bentuk persamaan, seperti di atas ada beberapa kasus yang mengharuskan kita untuk mengubah suatu persmaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persmaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Untuk mempermudah mengubah persmaan yang demikian maka kita dapat menggunakan beberapa rumus trigonometri berikut. sin x$^o$ = $\frac{1}{cosec x^o}$ cos x$^o$ = $\frac{1}{sec x^o}$ tan x$^o$ = $\frac{1}{tan x^o}$ tan x$^o$ = $\frac{sin x^o}{cos x^o}$ cot x$^o$ = $\frac{cos x^o}{sin x^o}$ sin$^2$x$^o$ + cos$^2$x$^o$ = 1 1 + tan$^2$ x$^o$ = sec$^2$ x$^o$ 1 + cot$^2$ x$^o$ = cosec$^2$ x$^o$ sin 2x$^o$ = 2sin x$^o$cos x$^o$ cos 2x$^o$ = cos$^2$ x$^o$ - sin$^2$ x$^o$ cos 2x$^o$ = 1 - 2sin$^2$ x$^o$ cos 2x$^o$ = 2cos$^2$ x$^o$ - 1 tan 2x$^o$ = $\frac{2tan x^o}{1 - tan^2 x^o}$ Untuk lebih jelasnya, berikut akan disajikan contoh soal persamaan trigonometri beserta penyelesaiannya Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 β€ x β€ 360! Penyelesaian cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0 1 - 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0 - 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ = 0 - sin x$^o$ 2sin x$^o$ + 3 = 0 tidak dilakukan pemisalan p, karena persamaan sudah sederhana -sin x$^o$ = 0 atau 2sin x$^o$ + 3 = 0 sin x$^o$ = 0 sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$ Jika, sin x$^o$ = 0 maka sin x$^o$ = 0$^o$ Untuk, x = 0$^o$ + k Γ 360$^o$ k = 0 β x = 0$^o$ + 0 Γ 360$^o$ = 0$^o$ k = 1 β x = 0$^o$ + 1 Γ 360$^o$ = 360$^o$ Untuk, x = 180$^o$ - 0$^o$ + k Γ 360$^o$ k = 0 β x =180$^o$ - 0$^o$ + 0 Γ 360$^o$ = 180$^o$ Jika sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$, persamaan tidak mempunyai penyelesaian karena sin x$^o$ < -1 Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {0$^o$, 180$^o$, 360$^o$} Contoh 3 Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 β€ x β€ 2πΉ! Penyelesaian 2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0 2cos$^2$ 2x$^o$ - 1 - 2sin$^2$ x$^o$ = 0 2cos$^2$ 2x$^o$ - cos$^2$ 2x$^o$ = 0 cos 2x$^o$2cos 2x$^o$ - 1 = 0 cos 2x$^o$ = 0 atau cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$ Jika cos 2x$^o$ = 0 maka cos 2x$^o$ = $\frac{πΉ}{2}$ Untuk 2x = $\frac{πΉ}{2}$ + k Γ 2πΉ atau x = $\frac{πΉ}{4}$ + k Γ πΉ k = 0 β x = $\frac{πΉ}{4}$ + 0 Γ πΉ = $\frac{πΉ}{4}$ k = 1 β x = $\frac{πΉ}{4}$ + 1 Γ πΉ = $\frac{5πΉ}{4}$ Untuk 2x = -$\frac{πΉ}{2}$ + k Γ 2πΉ atau x = -$\frac{πΉ}{4}$ + k Γ πΉ k = 1 β x = -$\frac{πΉ}{4}$ + 1 Γ πΉ = $\frac{3πΉ}{4}$ k = 2 β x = -$\frac{πΉ}{4}$ + 2 Γ πΉ = $\frac{7πΉ}{4}$ Jika cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$ maka cos 2x$^o$ = $\frac{πΉ}{3}$ Untuk 2x = $\frac{πΉ}{3}$ + k Γ 2πΉ atau x = $\frac{πΉ}{6}$ + k Γ πΉ k = 0 β x = $\frac{πΉ}{6}$ + 0 Γ πΉ = $\frac{πΉ}{6}$ k = 1 β x = $\frac{πΉ}{6}$ + 1 Γ πΉ = $\frac{7πΉ}{6}$ Untuk 2x = -$\frac{πΉ}{3}$ + k Γ 2πΉ atau x = -$\frac{πΉ}{6}$ + k Γ πΉ k = 1 β x = -$\frac{πΉ}{6}$ + 1 Γ πΉ = $\frac{5πΉ}{6}$ k = 2 β x = -$\frac{πΉ}{6}$ + 2 Γ πΉ = $\frac{11πΉ}{6}$ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{πΉ}{6}$, $\frac{πΉ}{4}$, $\frac{3πΉ}{4}$, $\frac{5πΉ}{6}$, $\frac{7πΉ}{6}$, $\frac{5πΉ}{4}$, $\frac{7πΉ}{4}$, $\frac{11πΉ}{6}$} Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2 dalam interval 0 β€ x β€ 360! Penyelesaian tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2 tan x$^o$ + $\frac{1}{tan x^o}$ = -2 tan$^2$ x$^o$ + 1 = -2tan x$^o$ tan$^2$ x$^o$ + 2tan x$^o$ + 1 = 0 tan x$^o$ + 1$^2$ = 0 tan x$^o$ + 1 = 0 tan x$^o$ = -1 tan x$^o$ = 135$^o$ x = 135$^o$ + k Γ 180$^o$ k = 0 β x = 135$^o$ + 0 Γ 180$^o$ = 135$^o$ k = 1 β x = 135$^o$ + 1 Γ 180$^o$ = 315$^o$ Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {135$^o$, 315$^o$} Demikianlah tadi mengenai Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, dan Tangen, semoga bermanfaat.
Untuk mencari penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan trigonometri sederhanaβ dan menguasai identitas trigonometri dengan baik. Berikut beberapa contoh soal tentang persamaan trigonometri bentuk kuadratLatihan SoalTentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$ memisalkan $\cos x=p$$\Leftrightarrow 2{{p}^{2}}+p-1=0$$\Leftrightarrow 2p-1p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-1$ rubah lagi $p=\cos x$$\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$ atau $\cos x=-1$Untuk $\cos x=\frac{1}{2}=\cos 60{}^\circ $$x=60{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=60{}^\circ $$x=-60{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=300{}^\circ $Untuk $\cos x=-1=\cos 180{}^\circ $$x=180{}^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=180{}^\circ $$x=-180{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=180{}^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace60{}^\circ ,180{}^\circ ,300{}^\circ \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka$4\sin^2x-1=0$ memisalkan $\sin x=p$$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$$\Leftrightarrow 2p-12p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ rubah lagi $p=\sin x$$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$ atau $\sin x=-1$Untuk $\sin x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ $$x=30^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=30^\circ $$x=180^\circ-30^\circ + $$x=150^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=150^\circ $Untuk $\sin x=-\frac12=\sin 210^\circ $$x=210^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=210^\circ $$x=180^\circ-210^\circ + $$x=-30^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=330^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 30^\circ ,150^\circ,210^\circ, 330^\circ\rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 360^\circ $$\tan^2x-1=0$$\Leftrightarrow p^2-1=0 $ misal $\tan x=p$$\Leftrightarrowp-1p+1=0 $$\Leftrightarrow p=1$ atau $p=-1$$\Leftrightarrow \tan x=1$ atau $\tan x=-1$ rubah lagi $p=\tan x$Untuk $\tan x=1=\tan 45^\circ $ maka diperoleh$x=45^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=45^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=225^\circ $Untuk $\tan x=-1=\tan 35^\circ $$x=135^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=135^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=315^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 45^\circ ,135^\circ ,225^\circ,315^\circ \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\sin^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka$2\sin^x-1=0$ memisalkan $\sin x=p$$\Leftrightarrow 2p^2-1=0$$\Leftrightarrow \sqrt2 p-1\sqrt2 p+1=0$$\Leftrightarrow \sqrt2p-1=0$ atau $\sqrt2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{\sqrt2}$ atau $p=-\frac{1}{\sqrt2}$ rasionalkan bentuk akar$\Leftrightarrow p=\frac12\sqrt2$ atau $p=-\frac12\sqrt2$ rubah lagi $p=\sin x$$\Leftrightarrow \sin x=\frac12\sqrt2$ atau $\sin x=-\frac12\sqrt2$Untuk $\sin x=\frac12\sqrt2=\sin 45^\circ=\sin \frac14\pi $$x=\frac14\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac14\pi $$x=\pi-\frac14\pi + $$x=\frac34\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac34\pi $Untuk $\sin x=-\frac12\sqrt2=\sin 225^\circ=\sin \frac54\pi $$x=\frac54\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac54\pi $$x=\pi-\frac54\pi + $$x=-\frac14\pi + $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac74\pi $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac14\pi,\frac34\pi,\frac54\pi,\frac74\pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\cos^2x-5\cos x-3=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka$2\cos ^2x-5\cos x-3=0$ memisalkan $\cos x=p$$\Leftrightarrow 2p^2-5p-3=0$$\Leftrightarrow 2p+1p-3=0$$\Leftrightarrow 2p+1=0$ atau $p-3=0$$\Leftrightarrow p=-\frac{1}{2}$ atau $p=3$ rubah lagi $p=\cos x$$\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$ atau $\cos x=3$Untuk $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos 120^\circ=\cos \frac23\pi $$x=\frac23\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23\pi $$x=-\frac23\pi + $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43\pi $Untuk $\cos x=3$ jelas tidak memenuhi karena nilai $\cos x$ maksimal adalah 1Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac23\pi,\frac43\pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-3=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $$\tan^2x-3=0$$\Leftrightarrow p^2-3=0 $ misal $\tan x=p$$\Leftrightarrowp-\sqrt3p+\sqrt3=0 $$\Leftrightarrow p=\sqrt3$ atau $p=-\sqrt3$$\Leftrightarrow \tan x=\sqrt3$ atau $\tan x=-\sqrt3$ rubah lagi $p=\tan x$Untuk $\tan x=\sqrt3=\tan 60^\circ =\tan \frac13 \pi $ maka diperoleh$x=\frac13 \pi +k.\pi $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac13 \pi $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43 \pi $Untuk $\tan x=-\sqrt3=\tan 120^\circ=\tan \frac23 \pi $$x=\frac23 \pi +k.\pi $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23 \pi $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac53 \pi $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac13 \pi,\frac23 \pi,\frac43 \pi,\frac53 \pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^23x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\sin 3x=p$ maka$4\sin^2x-1=0$ memisalkan $\sin 3x=p$$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$$\Leftrightarrow 2p-12p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ rubah lagi $p=\sin 3x$$\Leftrightarrow \sin 3x=\frac{1}{2}$ atau $\sin 3x=-1$Untuk $\sin 3x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ $$3x=30^\circ + $ masing-masing dibagi 3$x=10^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=10^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=130^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=250^\circ $$3x=180^\circ-30^\circ + $$3x=150^\circ + $ masing-masing ruas dibagi 3$x=50^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=50^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=170^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=290^\circ $Untuk $\sin 3x=-\frac12=\sin 210^\circ $$3x=210^\circ + $$\Rightarrow x=70^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=70^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=190^\circ $Untuk $k=3\Rightarrow x=310^\circ $$x3=180^\circ-210^\circ + $$\Rightarrow 3x=-30^\circ + $$\Rightarrow x=-10^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=110^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=230^\circ $Untuk $k=3\Rightarrow x=350^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 10^\circ, 50^\circ, 70^\circ,110^\circ,130^\circ,170^\circ,$ $190^\circ,230^\circ,250^\circ, 290^\circ,310^\circ,350^\circ \rbrace$
menyelesaikan persamaan trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat
